正弦余弦が出てきたあたりから
三角比がわからなくなった、

という高校生がいましたので、メモがてら。

三角比の図形問題を解く場合、
基本的には以下の5種類の公式を頭に入れておけばいいです。

・・・というか、基本的に私が問題を解く場合は、
この5種類しか使わないのですが。

sankakuhi.jpg

①は言わずもがなの「三平方の定理」。
これ意外と多用しますので、自信のない人は中3数学を復習してください。
三平方を利用すれば、sinθからcosθを求めたりするときに、わざわざ2乗の公式を使うことがなくなります。

②は余弦定理。
①の三平方の定理と、前半は全く同じですよね??
そうです、三平方の定理の応用バージョンが余弦定理になっています。
よく似ている①の「三平方の定理」は、使えるのが直角三角形に限定されてしまいますが、
余弦定理ではどのような三角形にも使えます。
余弦定理を使うときは、基本的に「辺の長さが多くわかっている」ときです。
余談ですが、この余弦定理を少し応用させると、数学B範囲の”ベクトルの「内積」”につながっていきます。

③は正弦定理。
イコールで長く繋がっているので理解が危うい子がいますが・・・要は辺と角の大きさは比の関係にあるよ、という至って単純な公式です。
正弦定理を使うのは「角の大きさが多くわかっているとき」あるいは「外接円の半径を求めるとき」です。
でも使われるのはもっぱら外接円の半径を求めるときなのですが。(だから最後に2Rがついてます)

④面積公式。
これもどこかで見たことありませんか?
そう、小学校で習った三角形の面積公式、(面積)=1/2 ✕(底辺)✕(高さ)、の応用バージョンなだけです。

⑤も面積公式。
三角形の3辺の長さと内接円の半径がわかっていれば、面積を出せますよ公式です。
でもこれで面積を求めることはほとんどなく、こちらももっぱら「内接円の半径を求める」ときに使われます。


面積公式は他にもヘロンの公式がありますし、
余弦定理もcosA=ナンタラとなっている公式もあります。
そのあたりは、いちいち覚える必要はありません。

相当上位の大学を狙うのでなければ、上のたった5つの公式さえ頭に入れていれば、
ほとんどの問題に対応できますから。


また、三角比の図形問題を解くための基礎知識として

・二等辺三角形や正三角形、台形、平行四辺形など基本図形の特徴
・三角形の合同/相似
・円周角の定理
・円に内接する四角形の特徴
は必要です。

こちらも小学校から中学校範囲でほぼ習っていますので、
危うい方は復習しておくと良いでしょう。


平面図形はできるけど、空間になるとさっぱり・・・という場合は、
「空間図形を平面図形に落としこむ」ことができれば
難なく解けるようになりますよ。
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2016.03.17 Thu l 数学 l コメント (0) トラックバック (0) l top
y=2x^2において、xの値が3から5まで増加するときの変化の割合は?

という形の問題において、学校の先生の解き方がが理解できない、
納得出来ない、という生徒がいたので、公式の証明をしておきます。

通常の解き方をするのであれば、
x=3のとき、y=18
x=5のとき、y=50 となる。

xの増加量は5-3=2
yの増加量は50-18=32

よって変化の割合は
32/2=16

というように出します。


ところが、放物線の変化の割合を求めるときには、
非常に便利な公式があるんです。
『xの値が3から5まで』なら、3と5を足し、
y=ax^2 のaに当たる部分の数字を足した数に掛ければ
変化の割合が求められます。

上の問題なら、2×(3+5)=2×8=16
というように使えるので、覚えておくと非常に便利な公式です。


たぶん、学校の先生としては、授業内でこの公式の証明をしたところで、
過半数の生徒が寝るだろうから、やらなかったのだと思いますが・・・

手書きで証明したので、字が雑ですみません。
xの値がpからqまで増加するときの変化の割合を求めてみました。
pとqが同じ数ではない、という前提があります。

201410022218.jpg


余談ですが、
公式というのは、本来は「暗記するもの」ではなく、
こうして自分で導き出して使うものなんですヨ。

高校数学に入ると、公式は非常に沢山出てきます。
いちいち全てを覚えることは困難ですから、
時には、このように自分で公式を導き出すことを
知っておくことも必要です。

2014.10.02 Thu l 数学 l コメント (0) トラックバック (0) l top
数学を教えていて「この子は伸びるな」「この子は伸びないな」というのがわかることがあります。
伸びない子の特徴ってあるんですね。なんとかそれを改善して、「伸びる子」にしたいところですが、それがなかなか難しい。
私もまだまだ精進しなければなりません。

伸びない・・・いや、伸びにくい子というのは
素直ではない(こちらが「こうして」と言ったことを無視して問題を解く)
という特徴があります。

例えば、図形の角度を求める問題。
複雑な図形になると
「わかったところの角度は全部図に書き込むんだよ。そしたら計算が楽だし間違わないから」
と指示をします。

ほとんどの生徒は、きちんと言ったとおりに、
あーでもない、こーでもないと悩みながら、分かった角度を次々と図形に書き込み、
「あ、じゃあここが求められるから、∠xが出る!」
なんて言いながらやっています。

ところが、素直ではない子は
図形をじーっと見つめているだけ。手は動きません。
最後に、∠x=60° なんて答えを書くわけです。
どうやって計算した?と聞くと
「なんとなく。勘です」と答える。

数学は勘では解けません

勘で解くのではなくて、人に「こことここの角度がわかるから、答えはこれ」と
説明できて始めて解けた、なんです。

用紙に書き出す作業を恥ずかしいと思っているのかもしれませんが
そんな姿勢では、いつまで経っても伸びません。

「素直」って、大事なんですよ。




それから、新しく中学3年生になる皆さん。
分数の計算はきちんとできますか?
定期テストで60点台の生徒さんだと、分数の計算が怪しかったりします。
80点取れる子で、ようやくきちんと計算できるかな、というレベルです。

高校入試では、分数の計算がよく出てきますし、
高校に入ってからの勉強では、数学でも理科でも、ガンガン分数を使います。

だから、分数のできない生徒さんは
春休みの2週間をたっぷり使って
きちんと分数の復習をしてください。

小学校4年生では、分母が同じ分数の和と差、
小学校5年生では、分母が異なる分数の和と差、
小学校6年生では、分数の積と商
が出てきます。

薄い計算ドリルで良いですから、小4~小6のものを購入して
分数のところだけでもやってください。
2週間あれば終わりますから。

分数を使いこなすことができなければ
高校入学後、数学で0点を取る事だってあるのです。

逆に、分数を使いこなせるようになると
どんな計算でも、易しく感じてしまうはずです。

このくらい、分数って大切なんです。
だからこの春休みは、分数をきちんと使えるようにしてください。
2014.03.20 Thu l 数学 l コメント (6) トラックバック (0) l top
塾に入ったときは、正負の数から怪しかったKくん。
夏休みの宿題を終えた後は、先に正負の数と文字式の掛け算・割り算を特訓してマスターしました。

2学期からは、正負の数の足し算・引き算の特訓。
最初はこんなに正答率の低かったKくんですが

中1男子特訓前

5日間ほど、とにかく繰り返し問題に取り組んだ結果

中1男子特訓後

今日になって、こんな感じで満点を連発。
どうやら計算に目覚めたようです。^^

使用している教材は、好学出版の「計算の級別トレーニング」。
これのAからDまでの易しいレベルの問題を、ひたすら繰り返して何度も解いただけです。
1つのレベルにつき、上の写真のように10題あり、10題すべてがマルになれば
私が「OK」と書いていきます。
全て「OK」になったら、次の級の学習に進んでいきます。

正負の数はほぼマスターできているので、
そろそろ文字式の和差特訓に入り、
そのあとは方程式へと進んでいく予定です。
2013.09.10 Tue l 数学 l コメント (0) トラックバック (0) l top
テキスト、というか、解説集といったほうが良いかもしれませんが^^;

中2生が多いので、一次関数のオリジナルテキストを作成しています。
試作品は、中2の中で比較的学力の高い子に推敲をしてもらいつつ
予習としてテキスト付属の問題を解いてもらっています。

このテキストをきちんと理解し、できるようになれば
テストで70点くらいは取れる、というところを目標に作成しています。


中2の数学の山場が、一次関数と図形の証明問題。
ここをきちんと理解できるかどうかで、上位の高校を目指せるかどうかが変わります。

関数は難しくありません。
謎解きゲームのつもりで、是非問題に挑戦してみてください。

2013.08.28 Wed l 数学 l コメント (0) トラックバック (0) l top